DERNIÈRE IMPRESSION LE 4 août 2014 à 11:24




Matrices et suites



Table des matières

1 Matrice 2
1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Opération sur les matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.1 Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Multiplication par un scalaire (réel) . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Transposition d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.4 Produit de deux matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Écriture matricielle d’un système linéaire . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Inversion d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2 Condition pour qu’une matrice d’ordre 2 soit inversible . . 7
1.5 Puissance n-ième d’une matrice carrée d’ordre 2 ou 3 . . . . . . . . 8
1.6 Diagonalisation d’une matrice d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Étude de suite à l’aide de matrice 11
2.1 Un premier exemple : un système fermé . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Le problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Étude d’une suite du type : Xn+1 = Xn M + B . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Le problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.2 Résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Marche aléatoire 16
3.1 Marche aléatoire simple sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2 Marche aléatoire aux sommets d’un tétraèdre . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Un retour en arrière est-il possible ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Traitement de l’image 19
4.1 Numériser les images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2 Opérations sur les images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19




PAUL MILAN 1 TERMINALE S SPÉ
 TABLE DES MATIÈRES



Introduction
Le but de ce chapitre est de résoudre quelques problèmes liés à des variables
discrète par l’intermédiaire d’un nouvel outil que constitue les matrices. Il s’agit
de mettre en évidence la pertinence d’introduire des matrices pour résoudre quel-
ques problèmes concrets. Bien que l’introduction des matrices dans le nouveau
programme doit se faire "naturellement", il me semble préférable d’introduire
directement les matrices, en donnant des exemples concrets, sans théorie exces-
sives, afin ensuite de traité quelques exemples cités dans le programme.


1 Matrice
1.1 Définition

Définition 1 : Une matrice M(m × n) est un tableau de nombres possèdant
m lignes et n colonnes. On écrit alors :
 
a11 a12 . . . a1n
 a21 a22 . . . a2n 
M= ... ...

... ...
am1 am2 . . . amn

Les nombres aij sont les éléments ou coefficients de la matrice M. aij est situé
à l’intersection
  de la ie ligne et de la je colonne. On note parfois la matrice M
par aij .

 
1 2 0
Exemple : Soit A matrice (2 × 3) définie par :
4 3 −1
On a par exemple les coefficients a21 = 4 et a13 = 0
Application : Voici les productions (en milliers) de deux usines de cycles appar-
tenant à une même enseigne pour le premier semestre de l’année 2010 :

VTT adultes Vélos enfants VTC BMX Vélos de course
Usine 1 12,99 13,20 5,58 1,53 1,95
Usine 2 4,62 4,98 2,16 0,51 0,78

On peut alors créer une matrice production P dont les lignes correspondent aux
usines et les colonnes aux différents type de cycles. La matrice P est alors une
matrice (2 × 5) :
 
12, 99 13, 20 5, 58 1, 53 1, 95
P=
4, 62 4, 98 2, 16 0, 51 0, 78

Remarque : Quelques matrices particulières
• Si m = 1, la matrice M est appelée matrice ou vecteur ligne, par exemple :


M= 1 5 8

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 1. MATRICE



• Si n = 1 , la matrice M est appelée matrice ou vecteur colonne, par exemple :
 
1
M =  3
−4
• Si m = n, la matrice M est appelée matrice carrée d’ordre m. Par exemple la
matrice carrée d’ordre 2 :  
4 5
M=
3 −2
• Une matrice carrée est symétrique si et seulement si aij = a ji ∀i 6= j. Par
exemple la matrice symétrique d’ordre 2 :
 
4 −1
M=
−1 4
• On définit la matrice unité Im d’ordre m par la matrice carrée d’ordre m qui
possède que des "1" sur sa diagonale et des "0" ailleurs. Par exemple la matrice
unité d’ordre 3 :  
1 0 0
I 3 = 0 1 0
0 0 1
• On définit une matrice diagonale d’ordre m par la matrice carrée d’ordre m qui
ne possède des éléments non nuls que sur sa diagonale. Par exemple :
 
2 0 0
D = 0 1 0
0 0 −3
• On définit une matrice triangulaire d’ordre m par une matrice carrée d’ordre m
qui possède un triangle composé uniquement de "0". Si la diagonale est compo-
sée de "0", on dit alors que la matrice est strictement triangulaire. Par exemple :
   
1 4 5 0 4 5
T = 0 2 7 T = 0 0 7
0 0 6 0 0 0
Matrice triangulaire supérieure Matrice strictement triangulaire

1.2 Opération sur les matrice
1.2.1 Addition

Définition 2 : L’addition ou la soustraction de deux matrices de même di-
mension A et B est égale à la matrice C dont chaque coefficient est obtenu en
additionnant ou soustrayant chaque coefficient de la matrice A au coefficient
correspondant de la matrice B. Par exemple :
     
1 2 0 5 2 3 6 4 3
+ =
4 3 −1 1 3 4 5 6 3


Remarque : L’addition de deux matrices ne posent donc aucun problème.

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1.2.2 Multiplication par un scalaire (réel)


Définition 3 : Le produit de la matrice A par un réel λ, est égal à la matrice
B dont chaque coefficient est obtenu en multipliant chaque coefficient de la
matrice A par λ. Par exemple :
   
1 2 0 2 4 0
2· =
4 3 −1 8 6 −2



Remarque : Cette opération ne pose donc aucun problème. Ces deux opérations
sont identiques à celles utilisées par les vecteurs. Les matrices et les vecteurs ont
donc une même structure appelée : espace vectoriel sur R.


1.2.3 Transposition d’une matrice


Définition 4 : La transposée t M d’une matrice M(m × n) est la matrice
(n × m) obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de la matrice M. Par
exemple  
  1 4
1 2 0
Si M = alors t M = 2 3
4 3 −1
0 −1



Remarque :
• La transposée d’un vecteur colonne est un vecteur ligne
• Si M est une matrice carrée symétrique, alors : t M = M


1.2.4 Produit de deux matrices


Définition 5 : Le produit d’un vecteur ligne par un vecteur colonne est
égal à la somme des produits de chaque coefficient du vecteur ligne avec le
coefficient correspondant du vecteur colonne. Par exemple :
 

5
4 3 −1 × 2 = 4 × 5 + 3 × 2 − 1 × 3 = 23

3



Remarque : Cette opération correspond au produit scalaire de deux vecteurs.

On généralise cette opération à deux matrices quelconques A et B pourvu que
le nombre de colonnes de la matrice A correspondent au nombre de lignes de la
matrice B.


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 1. MATRICE



Définition 6 : Le produit de la matrice A(m × n) par la matrice B(n × p)
est égal à la matrice C(m × p) dont chaque coefficient cij est égal au produit
scalaire de la ligne i de la matrice A par la colonne j de la matrice B. Par
exemple :
 
  5 1  
1 2 0 1 × 5 + 2 × 2 + 0 × 3 1 × 1 + 2 × 3 + 0 × 4
× 2 3 =
4 3 −1 4 × 5 + 3 × 2−1 × 3 4 × 1 + 3 × 3−1 × 5
3 5
 
9 7
=
23 8


Remarque : Le produit de deux matrices est :
• associatif : A (B × C) = (A × B) C = ABC
• distributif par rapport à l’addition : A (B + C) = AB + AC
• non commutatif : AB 6= BA en général.
Exemple : Une association de consommateurs compare les prix de cinq pro-
duits p1 , p2 , p3 , p4 , p5 distincts dans trois magasins différents. Les observations
fournissent les données suivantes :

Produit p1 Produit p2 Produit p3 Produit p4 Produit p5
magasin 1 1 5 2 3 4
magasin 2 1,1 4,7 1,8 3,1 3,8
magasin 3 0,9 5,1 1,9 3,2 4

On peut stocker les prix des produits sous la forme d’une matrice P (3 × 5).
 
1 5 2 3 4
P = 1, 1 4, 7 1, 8 3, 1 3, 8
0, 9 5, 1 1, 9 3, 2 4

Pour comparer la dépense d’une ménagère selon les magasins, on considère un «
panier » indiquant pour chaque produit la quantité achetée.
On appelle q1 , q2 , q3 , q4 et q5 , les quantités correspondant aux 5 produits. par
exemple 2, 1, 3, 3, 2
Le panier d’une ménagère peut être représenté par un vecteur colonne Q (1 × 5) :
   
q1 2
 q2  1
   
Q=  q3  = 3
  
 q4  3
q5 2

Soit Π1 , Π2 et Π3 les prix du panier de la ménagère dans chacun des trois maga-
sins. On note alors Π (1 × 3) le vecteur colonne correspondant à ces trois prix :
 
Π1
Π = Π2 

Π3

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On peut donc traduire, le prix du panier de la ménagère dans chacun des trois
magasin par l’égalité matricielle suivante :

Π = P×Q

En remplaçant par les données de notre exemple, on a :
 
    2
Π1 1 5 2 3 4 1
 
Π2  = 1, 1 4, 7 1, 8 3, 1 3, 8 × 3
 
Π3 0, 9 5, 1 1, 9 3, 2 4 3
2

Ce qui donne :
     
Π1 1×2+5×1+2×3+3×3+4×2 30
Π2  = 1, 1 × 2 + 4, 7 × 1 + 1, 8 × 3 + 3, 1 × 3 + 3, 8 × 2 = 29, 2
Π3 0, 9 × 2 + 5, 1 × 1 + 1, 9 × 3 + 3, 2 × 3 + 4 × 2 30, 2



1.3 Écriture matricielle d’un système linéaire

Définition 7 : Soit le système (S) linéaire (n × n) suivant :



 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1

a x +a x +···+a x = b
21 1 22 2 2n n 2

 ...


an1 x1 + an2 x2 + · · · + ann xn = bn
     
a11 a12 ... a1n x1 b1
 a21 a22 ... a2n   x2   b2 
On pose M = 
. . .
, X=  et B= 
... ... . . . . . . . . .
an1 an2 ... ann xn bn
On a alors l’écriture matricielle du système (S) est :

MX = B



(
2x − 3y = 5
Exemple : Soit le système suivant :
5x − 4y = 1

Son écriture matricielle est donc :
    
2 −3 x 5
=
5 −4 y 1

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1.4 Inversion d’une matrice
1.4.1 Définition

Définition 8 : Une matrice carrée M est dites inversible (ou régulière) si,
et seulement si, il existe une matrice carrée, appelée matrice inverse et notée
M−1 , telle que :
M × M −1 = M −1 × M = I
Si M−1 n’existe pas, on dit que la matrice M est singulière


 
4 3
Exemple : Soit la matrice A carrée d’ordre 2, définie par : .
2 1
 
−0, 5 1, 5
Montrons que la matrice B définie par : est la matrice inverse de
1 −2
la matrice A.

       
4 3 −0, 5 1, 5 −2 + 3 6 − 6 1 0
A×B = × = =
2 1 1 −2 −1 + 1 3 − 2 0 1
       
−0, 5 1, 5 4 3 −2 + 3 −1, 5 + 1, 5 1 0
B×A = × = =
1 −2 2 1 4−4 3−2 0 1

1.4.2 Condition pour qu’une matrice d’ordre 2 soit inversible

Définition 9 : Soit M une matrice carrée d’ordre 2, on appelle déterminant
de la matrice M, noté det(M), le nombre réel tel que :
   
a b a b
M= alors det(M) =    = ad − bc
c d c d


Exemple : Pour la matrice A précédente, on a :
 
4 3
det(A) =   = 4 × 1 − 3 × 2 = −2
2 1


Théorème 1 : Une matrice carrée d’ordre deux est inversible si et seulement
si son déterminant est différent de 0.

M−1 existe ⇔ det(M) 6= 0

On a alors :
   
a b −1 1 d −b
M= et det(M) 6= 0 alors M =
c d det(M) −c a


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